Девятнадцатеричная система счисления. Использует девятнадцать цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы "+" и "-" для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Так как запись знаков внутри цифр достаточно неудобна, то плюс при положительных цифрах не пишут вообще, а отрицательные цифры вместо минуса надчеркивают. При таком подходе таблицы сложения и умножения в этой системе счисления повторяют те же таблицы для обычной десятичной системы, но с учетом знаков цифр (в частности, сложение заменяется вычитанием, а при умножении знак произведения зависит от четности числа отрицательных множителей). Так как 192=361, то двух таких цифр достаточно для указания 360 направлений, измеряемых целым числом градусов.
*
Двадцатеричная система счисления. Во французском языке способ образования числительных от 80 до 99 явно указывает на употребление этой системы счисления в прошлом. Например, quatre-vingt-dix (90) в буквальном переводе означает "четыре по двадцать и десять". Не столь сильно выражены следы ее использования в других языках. Однако в большинстве европейских языков, как и в русском, числительные до 20 и после 20 образуются по разным правилам. В русском языке можно заметить также разные правила образования числительных, кратных ста, до 400=202 и после. Английский шиллинг состоит из 20 пенсов.
*
Система счисления с основанием 32. О практическом использовании этой системы счисления пока ничего не известно. Однако перспектива есть по двум причинам. Во-первых, аналогичная 8 и 16 связь с двоичной системой, что позволяет легко переводить числа из любой из этих систем в любую другую. Во-вторых, в русском языке (если не различать "е" и "ё") как раз 32 буквы.
*
Система счисления с основанием 36. Так как 36=10+26, то 36 - последнее основание, до которого можно "дотянуть" обозначение цифр буквами латинского алфавита по правилу, действующему для шестнадцатеричной системы счисления.
*
Система счисления с основанием 40. Совершенно особое слово "сорок" и часто используемое в русском языке выражение "сорок сороков" явно указывают на употребление в прошлом и этой системы счисления. Числительные, обозначающие десятки, до 40 и после 40 образуются по разным правилам. Это же число 40 является соотношением между русскими единицами веса - пудом (16кг) и фунтом (400г).
*
Вавилонская шестидесятеричная система Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин Изображение служил для обозначения единиц, а лежачий клин — Изображение — для обозначения десятков. Число 32, например, записывали так: Изображение Изображение ИзображениеИзображениеИзображение Знаки Знаки Изображение и Изображение служили цифрами в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же знаком Изображение , что и 1, этим же знаком обозначались и числа 3600=602, 216000=603 и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.
Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.
*
Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.
*
Значение числа определяли по значениям состовляющих его цифр, но с учетом того, что цифры в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же цифр в предыдущем разряде.
*
Число 92=60+32 записывали так: ИзображениеИзображениеИзображениеИзображение Изображение Изображение
а число 444 в этой системе записи чисел имело вид так как 444=7 · 60+24.
*
Все числа от 1 до 59 вавилонян записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом — в позиционной системе с основанием 60.
*
Запись числа у вавилонян была неоднозначной, так как не существовало цыфры для обозначения нуля. Запись числа 92, приведенная выше, могла обозначать не только 92=60+32, но и, 3632=3600+32=602+32. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда — Изображение, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа.
*
Число 3632 теперь нужно было записывать так: Но в конце числа этот символ все же не ставился, т.е. этот символ все же не был цифрой "ноль" в ношем понимании, и опять же требовались дополнительные сведения для того, чтобы отличить 1 от 60, от 3600 и т.д.
*
Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. это было практически невозможно. При вычислениях использовались готовые таблицы умножения.
*
Шестидесятеричная вавилонская система — первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе.
*
Мнения историков по поводу того, как именно возникла эта система счисленя, расходятся. Существуют две гипотезы. Первая исходит из того, что произошло слияние двух племён, одно из которых пользовалось шестеричной, другое — десятичной.
*
Появление шестидесятеричной системы счисления вызвано сочетанием двух причин. Во-первых, при счете на пальцах можно фиксировать до 60 различных положений (косточек или суставов между ними). Во-вторых, 60 лет - наименьшее общее кратное периодов обращения вокруг Солнца всех планет Солнечной системы, доступных для наблюдения без оптических приборов. Поэтому именно 60 лет были периодом, на который составлялись древние астрономические календари. Шестидесятилетний цикл летоисчисления широко известен как восточный календарь (в двух вариантах - японском и китайском). Шестидесятеричная система счисления до сих пор сохранилась в измерении углов и времени. Угол равностороннего треугольника (а в древности за основу брался именно он, так как его построить легче, чем прямой или развернутый) делится на 60 градусов. Градус, как и час, делится на 60 минут, а минута - на 60 секунд (и не важно, о чем здесь идет речь - о времени или углах). На шестидесятеричную систему счисления указывает и способ образования числительных от 60 до 79 во французском языке. Например, soixante-dix-nef (79) можно перевести как "шестьдесят и девятнадцать".
*
В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 0, 102,103, 104, 105, 106, 107. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.
*
Число 345 древние египтяне записывали так
где — единицы, Изображение— десятки,Изображение — сотни,Изображение — тысячи.
*
В основе древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Ученые относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.
*
Римская система Знакомая нам римская система не слишком принципиально отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно, являющиеся цифрами этой системы счисления.
*
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
*
Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числа равно:
*
1) сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (назовем их группой первого вида);
*
2) разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая. В этом случае от значения большей цифры отнимается значение меньшей цифры. Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L (50) и C (100) из "младших" может стоять только X (10), перед D (500) и M(1000) — только C (100), перед V (5) — только I (1);
*
3) сумме значений групп и цифр, не вошедших в группы первого или второго вида.
*
Например, IX обозначает 9, XI обозначает11. Десятичное число 28 представляется следующим оброзом: XXVIII=10+10+5+1+1+1, а десятичное число 99 имеет вот такое представление: IC= -1+100.
*
Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы первого вида).
*
Число 444, имеющее в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида).
*
Число 1974 в римской системе счисления будет иметь вид MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные "цифры"). Вы видели подобные обозначения года выпуска в титрах голливудских фильмов.
*
Римская система счисления сегодня используется в основном для обозначения знаменательных и юбилейных дат, разделов и глав в книгах.
*
Числовая система индейцев Майя "В письменности майа, как и в других иероглифических системах письма, употребляются знаки фонетические (алфавитные и слоговые), идеографические (обозначающие целые слова) и ключевые (поясняющие значения слов, но не читающиеся). Один и тот же знак в разных сочетаниях может употребляться то как фонетический, то как ключевой, то как идеограмма..." Юрий Кнорозов
*
Иероглифические символы чисел майя от 1 до 10.
*
Тысячная система счисления должна была бы использовать тысячу различных цифр. Наверное, такое возможно в Китае, имеющем тысячи иероглифов. Но подавляющее большинство европейцев не имеет навыка удерживать в голове и различать столь большое количество различных знаков. И тем не менее, именно тысячная система счисления лежит в основе образования числительных во всех европейских языках. А вместо тысячи цифр используется их представление в десятичной системе, что в конечном счете приводит к двойной системе счисления: десятично-тысячной. Чтобы не путать разряды двух разных систем счисления, разряды тысячной системы счисления называют классами. Первые из них - единица, тысяча, миллион, миллиард. Так как большие числа употребляются сравнительно редко, то принятые в разных языках названия для последующих классов оказались в конфликте друг с другом. В одних языках (включая русский) слово "биллион" используется для обозначения 1000 миллиардов, а в других - как синоним самого миллиарда. Но зато дальше "полная ясность": 1000 биллионов называется триллионом, 1000 триллионов называется квадриллионом, 1000 квадриллионов называется квинтиллионом, 1000 квинтиллионов называется секстиллионом, 1000 секстиллионов называется септиллионом, 1000 септиллионов называется окталлионом, 1000 окталлионов называется ноналлионом, 1000 ноналлионов называется дециллионом, 1000 дециллионов называется ундециллионом и т.д.
*
Алфавитные системы счисления представляют особую группу. В них для записи чисел использовался буквенный алфавит. Примером алфавитной системы счисления является славянская. У одних славянских народов числовые значения букв устанавливались в порядке следования букв славянского алфавита, у других, в частности у русских, роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите.
*
Над буквой, обозначающей цифру, ставился специальный знак -- "титло" (отсюда - число). Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах.
